CAPÍTULO 9 MÉTODOS DE ANÁLISIS #

9.1 CLASIFICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS #

Cada edificación deberá ser analizada tomando en consideración los efectos traslacionales y torsionales, por uno de los métodos descritos a continuación, los cuales han sido organizados por orden creciente de refinamiento.

9.1.1 ANÁLISIS ESTÁTICO #

Los efectos traslacionales se determinan con el Método Estático Equivalente (Artículo 9.3). Los efectos torsionales se determinan con el Método de la Torsión Estática Equivalente (Artículo 9.5).

9.1.2 ANÁLISIS DINÁMICO PLANO #

Los efectos traslacionales se determinan según el Método de Superposición Modal con un Grado de Libertad por nivel (Artículo 9.4) . Los efectos torsionales se determinan con el Método de la Torsión Estática Equivalente (Artículo 9.5).

9.1.3 ANÁLISIS DINÁMICO ESPACIAL #

Los efectos traslacionales y los efectos torsionales se determinan según el Método de Superposición Modal con Tres Grados de Libertad por nivel (Artículo 9.6).

9.1.4 ANÁLISIS DINÁMICO ESPACIAL CON DIAFRAGMA FLEXIBLE #

Los efectos traslacionales y los efectos torsionales se determinan según lo indicado en el Artículo 9.7 en el cual se incluye la flexibilidad del diagrama.

9.1.5 OTROS MÉTODOS DE ANÁLISIS #

En el Artículo 9.8 se presenta un método alternativo a los métodos anteriormente descritos, recomendable para el caso de estructuras no tipificadas en esta Norma.

En el Artículo 9.9 se presenta un procedimiento de análisis estático inelástico que puede ser utilizado opcionalmente en conjunto con los métodos de análisis descritos previamente.

9.2 SELECCIÓN DE LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS #

En las Tablas 9.1 y 9.2 se establecen los métodos de análisis que como mínimo deben ser empleados, respectivamente para las edificaciones regulares y las irregulares, según la clasificación del Artículo 6.5.

Los métodos especificados pueden sustituirse por otros más refinados según el orden dado en el Artículo 9.1.

TABLA 9.1 — SELECCIÓN DEL MÉTODO DE ANÁLISIS PARA EDIFICIOS DE ESTRUCTURA REGULAR

TABLA 9.2 — SELECCIÓN DEL MÉTODO DE ANÁLISIS PARA EDIFICIOS DE ESTRUCTURA IRREGULAR

9.3 MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE #

9.3.1 FUERZA CORTANTE BASAL #

La fuerza cortante basal $V_0$, en cada dirección de análisis, se determinará de acuerdo con la expresión:

donde:

$A_d$ = Ordenada del espectro de diseño definida en el Artículo 7.2, para el período T dado en la Sección 9.3.2.

$W$ = Peso total de la edificación por encima del nivel de base (Artículo 7.1).

$\mu$ = Mayor de los valores dados por:

donde:

N = Número de niveles.

T = Período fundamental.

T* = Período dado en la Tabla 7.1.

El valor $\dfrac{V_0}{W}$ debe ser mayor o igual que el coeficiente sísmico mínimo establecido en el Artículo 7.1.

9.3.2 PERÍODO FUNDAMENTAL #

9.3.2.1 En cada dirección de análisis el período fundamental T se calculará según se establece en la fórmula siguiente:

Donde:

$Q_i$ = Fuerza lateral aplicada en el centro de masas del nivel i del edificio y dada por:

$W$ = Peso total de la edificación. $W_i$ = Peso del nivel i. $h_i$ = Altura del nivel medida desde la base. $\delta_{ei}$ = Desplazamiento elástico lateral del nivel i, bajo la acción de las cargas laterales $Q_i$. $N$ = Número de niveles de la edificación. $g$ = Aceleración de la gravedad.

El valor T del período fundamental calculado según la fórmula 9.4 no excederá el valor 1.4 $T_a$, donde $T_a$ está dado en la Subsección 9.3.2.2.

9.3.2.2 Como alternativa al método descrito en la Subsección 9.3.2.1, el período fundamental T podrá tomarse igual al período estimado $T_a$, obtenido a partir de las expresiones siguientes:

a) Para edificaciones Tipo I

donde:

$C_t$ = 0.07 para edificios de concreto armado o mixtos de acero-concreto.

$C_t$ = 0.08 para edificios de acero.

$h_n$ = Altura de la edificación medida desde el último nivel, hasta el primer nivel cuyos desplazamientos esten restringidos total o parcialmente.

b) Para edificaciones Tipo II, III y IV

9.3.3 DISTRIBUCIÓN VERTICAL DE LAS FUERZAS DE DISEÑO DEBIDO A LOS EFECTOS TRASLACIONALES #

Las fuerzas laterales de diseño en cada nivel y para cada dirección de análisis se obtendrán al distribuir verticalmente la fuerza cortante basal $V_o$, determinada con la fórmula (9.1), de acuerdo con la siguiente expresión:

donde:

$F_t$ = Fuerza lateral concentrada en el nivel N calculada de acuerdo con la siguiente expresión:

y acotada entre los límites siguientes:

$F_i$ = Fuerza lateral correspondiente al nivel i, calculada según la siguiente fórmula:

$W_j$ = Peso del nivel j de la edificación.

$h_j$ = Altura medida desde la base hasta el nivel j de la edificación.

Las fuerzas $F_i$ y $F_t$ se aplicarán en los centros de masas del respectivo nivel.

Cuando sobre el último nivel N haya estructuras tales como salas de máquina, avisos luminosos y otras similares, se aplicarán los criterios del Artículo 7.3. Excepcionalmente este también podría ser el caso cuando exista un estanque de agua.

9.4 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL CON UN GRADO DE LIBERTAD POR NIVEL #

9.4.1 MODELO MATEMÁTICO #

Para la aplicación de este método, la edificación deberá ser modelada como un sistema de masas concentradas en cada nivel, teniendo cada una de ellas un grado de libertad correspondiente al desplazamiento lateral en la dirección considerada.

9.4.2 MODOS #

Las formas modales y sus correspondientes períodos de vibración en la dirección analizada se calculan utilizando las rigideces elásticas y las masas del sistema.

9.4.3 ANÁLISIS #

El factor de participación $\gamma_j$ de cada modo de vibración está dado por:

El desplazamiento máximo $u_{kj}$ y la fuerza lateral $F_{kj}$ en el piso k del modo j están dados por:

El cortante $V_{oj}$ en la base del edificio, en el modo j, está dado por:

Siendo:

Donde:

• $\Phi_{kj}$ = Coordenada modal del piso k en el modo j.
• $M_k$ = Masa del piso k.
• $N$ = Número total de pisos.
• $A_{dj}$ = Ordenada del espectro de diseño para el modo de período $T_j$ (Artículo 7.2).
• $T_j$ = Período de vibración del modo j.
• $g$ = Aceleración de la gravedad.
• $M$ = Masa total del edificio = W/g (Artículo 7.1).
• $\beta_j$ = Fracción de la masa total del edificio, o masas participativas, asociada con la respuesta en el modo j.

9.4.4 NUMERO DE MODOS DE VIBRACIÓN #

En cada dirección, el análisis debe por lo menos incorporar el número de modos $N_1$ que se indica a continuación:

a) para edificios con menos de 20 pisos:

b) para edificios con 20 pisos o más:

donde:

$T_1$ = período del modo fundamental.

Los valores $N_1$ deben redondearse al entero inmediato superior. Para estructuras de menos de 3 pisos, el número de modos a incorporar es igual al número de pisos.

9.4.5 COMBINACIÓN MODAL #

El corte basal y la fuerza cortante en cada nivel se determinarán por combinación de los respectivos valores modales. La combinación se llevará a cabo tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor modal o por la combinación cuadrática completa. A partir de las fuerzas cortantes se obtendrán las fuerzas concentradas en cada nivel, las cuales se aplicarán en los respectivos centros de masa.

9.4.6 CONTROL DE CORTANTE BASAL Y VALORES DE DISEÑO #

El corte basal $V_o$ deberá compararse con el calculado según la Sección 9.3.1 con un período $T = 1.6\, T_a$, el cual se denota aquí por $V_0^*$. Cuando $V_0$ sea menor que $V_0^*$ los valores para el diseño deberán multiplicarse por $V_0^* / V_0$. El cociente $V_o / W$ de diseño no será menor que el mínimo coeficiente sísmico dado en el Artículo 7.1.

Posteriormente se considerarán los efectos P-$\Delta$ según el Artículo 8.5 para obtener los incrementos eventuales de fuerzas cortantes, desplazamientos y derivas. Finalmente se considerarán los efectos torsionales según el Artículo 9.5 y se añadirán sus efectos a los resultados del análisis anterior.

9.5 MÉTODO DE LA TORSIÓN ESTÁTICA EQUIVALENTE #

En cada nivel y en cada dirección se incorporarán los efectos de los momentos torsores indicados, añadidos a las fuerzas cortantes aplicadas en los centros de rigidez. Para cada miembro resistente se seleccionarán las solicitaciones más desfavorables derivadas de las combinaciones de fuerza cortante y los distintos momentos torsores indicados.

En cada nivel y en cada dirección los momentos torsores se obtendrán por medio de las siguientes fórmulas:

donde:

$V_i$ = Fuerza cortante de diseño en el nivel i para la dirección analizada, calculada según el Artículo 9.3 o el Artículo 9.4.

$e_i$ = Excentricidad estática en el nivel i, entre el centro de rigidez y la línea de acción del cortante en la dirección analizada, se tomará siempre positiva en las fórmulas (9.19) y (9.20).

$B_i$ = Ancho de la planta en la dirección normal a la dirección analizada.

$\tau$ = Factor de amplificación dinámica torsional para la dirección considerada.

$\tau'$ = Factor de control de diseño de la zona más rígida de la planta, para la dirección considerada.

Los factores de modificación de la excentricidad, para cada dirección, se pueden calcular según las siguientes expresiones:

donde:

$\varepsilon$ = Valor representativo del cociente e / r, no mayor que 0.2.

$\Omega$ = Valor representativo del cociente $r_t$ / r, no menor que 0.5.

e = Valor representativo de las excentricidades entre el centro de rigidez y la línea de acción del cortante de las plantas de la edificación, en la dirección analizada.

r = Valor representativo del radio de giro inercial de las plantas de la edificación.

$r_t$ = Valor representativo del radio de giro torsional del conjunto de las plantas de la edificación, en la dirección considerada.

Alternativamente, los valores de $\tau$ y $\tau'$ se pueden determinar mediante un análisis dinámico con tres grados de libertad de un sistema de un piso con los valores representativos indicados.

Cuando no puedan establecerse valores representativos de e, r o $r_t$, por tomar valores muy disímiles entre las diferentes plantas, deberá aplicarse el Método del Artículo 9.6. Igualmente se hará así cuando se excedan las limitaciones de $\varepsilon$ u $\Omega$.

9.6 MÉTODO DE ANÁLISIS DINÁMICO ESPACIAL DE SUPERPOSICIÓN MODAL CON TRES GRADOS DE LIBERTAD POR NIVEL #

9.6.1 GENERALIDADES #

Este método toma en cuenta el acoplamiento de las vibraciones traslacionales y torsionales de la edificación y considera tres grados de libertad para cada nivel.

9.6.2 VALORES DE DISEÑO #

9.6.2.1 RESPUESTA DINÁMICA #

El número mínimo de modos de vibración ($N_3$) a utilizar en el análisis dinámico, será el mayor entre los dos siguientes valores:

i) $N_3 = 3N_1$, donde $N_1$ está dado por las fórmulas (9.17) y (9.18) de la Sección 9.4.4.

ii) $N_3$ = Número de modos que garantice que la sumatoria de las masas participativas de los primeros N modos exceda el noventa por ciento (90%) de la masa total del edificio, para cada una de las direcciones de análisis.

El máximo de cualquier valor de respuesta dinámica de interés para la acción de una componente sísmica en la dirección X ($R_x$) ó en la dirección Y ($R_y$), se obtiene combinando los valores modales según el criterio de la combinación cuadrática completa, que toma en cuenta el acoplamiento entre modos de frecuencia cercanas.

En cada dirección, el corte basal $V_o$ deducido de la combinación modal deberá compararse con el calculado según la Sección 9.3.1 con un período $T = 1.6\, T_a$, el cual se denota aquí por $\overline{V_o}$. Cuando $V_o$ sea menor que $\overline{V_o}$, los valores para el diseño deberán multiplicarse por $\overline{V_o}/V_o$. El cociente $V_o/W$ de diseño no será menor que el mínimo coeficiente sísmico dado en el Artículo 7.1. Los efectos P-$\Delta$ se incorporarán en forma similar a como se establece en la Sección 9.4.6.

9.6.2.2 TORSIÓN ADICIONAL #

Los efectos de la componente rotacional del terreno y de las incertidumbres en la ubicación de centros de masa y rigidez, se incluyen en el diseño añadiendo a los resultados del análisis dinámico, las solicitaciones más desfavorables que resulten de aplicar estáticamente sobre la edificación los siguientes momentos torsores:

Para sismo X:

Para sismo Y:

donde:

• $V_{kx}$ = Fuerza cortante de piso del nivel k de la edificación, en dirección X debida a la componente sísmica X.
• $V_{ky}$ = Fuerza cortante de piso del nivel k de la edificación, en dirección Y debida a la componente sísmica Y.
• $B_{kx}$ = Mayor dimensión horizontal de la edificación en dirección X, en el nivel k.
• $B_{ky}$ = Mayor dimensión horizontal de la edificación en dirección Y, en el nivel k.
• $Mt_{kx}$ = Momentos torsores adicionales a aplicar en el piso k, para el caso de sismo en la dirección X.
• $Mt_{ky}$ = Momentos torsores adicionales a aplicar en el piso k, para el caso de sismo en la dirección Y.

El momento torsor en un piso cualquiera no podrá ser menor que en ninguno de los pisos superiores.

Para sismo en la dirección X, la aplicación estática de los torques de piso obtenidos de $Mt_{kx}$, conducen a una solicitación genérica que se denota por $R_{tx}$. Para sismo Y, la aplicación estática de los torques de piso obtenidos de $Mt_{ky}$, conducen a una solicitación genérica que se denota por $R_{ty}$.

9.6.2.3 COMBINACIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA Y LA TORSIÓN ADICIONAL #

A los valores absolutos de las respuestas dinámicas $|R_x|$ y $|R_y|$ obtenidas de aplicar la Subsección 9.6.2.1, para sismo en la dirección X y para sismo en la dirección Y, respectivamente, se les añade el valor absoluto obtenido de las solicitaciones resultantes de aplicar la torsión adicional, $|R_{tx}|$ y $|R_{ty}|$ obtenidas de aplicar la Subsección 9.6.2.2, para determinar las solicitaciones sísmicas completas en cada dirección $R_x^*$ y $R_y^*$, en cada miembro o plano resistente.

Para sismo X:

Para sismo Y:

9.7 MÉTODO DE ANÁLISIS DINÁMICO ESPACIAL CON DIAFRAGMA FLEXIBLE #

9.7.1 CAMPO DE APLICACIÓN #

En esta Sección se presenta una alternativa de análisis para el caso de edificaciones que posean las irregularidades en planta definidas como b.4 en la Sección 6.5.2, o cuando las características mecánicas del sistema de piso no garanticen un comportamiento equivalente al del diafragma infinitamente rígido.

9.7.2 MODELO MATEMÁTICO #

El sistema de piso se modelará mediante técnicas de elementos finitos o similares. El tipo y número de elementos a usar será el requerido para representar adecuadamente su flexibilidad, tomando en cuenta sus características de geometría, conectividad y rigidez. Los grados de libertad de cada elemento deben definirse obligatoriamente en las direcciones asociadas a los desplazamientos en su propio plano.

La masa de cada piso se distribuirá entre los diversos elementos que lo conforman, simulando la distribución real de masa sobre el mismo. La distribución de masa deberá corresponder a la masa total del piso y a su inercia rotacional.

9.7.3 ANÁLISIS #

9.7.3.1 GENERAL #

El edificio será analizado por medio de métodos de análisis dinámico bajo la acción de las dos componentes horizontales del sismo dadas por el espectro de diseño especificado en el Artículo 7.2.

9.7.3.2 NÚMERO DE MODOS #

El número de modos de vibración a utilizar en el análisis es aquel que garantice que la suma de las masas participativas de los modos en cada una de las direcciones horizontales del sismo, excede el noventa por ciento (90%) de la masa total del edificio.

9.7.3.3 COMBINACIÓN MODAL #

La combinación de los máximos valores de respuesta en cada modo, se hará según el criterio de la combinación cuadrática completa tal como se indica en la Subsección 9.6.2.1, para cada dirección del sismo.

9.7.4 TORSIÓN ADICIONAL #

Los efectos de excentricidades accidentales y de la componente rotacional del terreno se incluyen en el diseño considerando los siguientes cuatro casos adicionales de análisis dinámico. En cada caso, se modificará la distribución de masa de cada piso, de manera gradual, tal que el centro de masa se desplace una distancia dx en dirección X y una distancia dy en dirección Y, dadas por:

1. • dx ; + dy
2. • dx ; - dy
3. • dx ; + dy
4. • dx ; - dy

donde:

dx = 0.03 Bx

dy = 0.03 By

Bx = La mayor dimensión horizontal en cada nivel en dirección X.

By = La mayor dimensión horizontal en cada nivel en dirección Y.

En cada uno de estos casos, los centros de masa para todos los pisos se desplazarán la misma magnitud, dirección y sentido.

9.7.5 COMBINACIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA Y LA TORSIÓN ADICIONAL #

Las solicitaciones sísmicas de diseño para cada miembro estructural, son las más desfavorables de las obtenidos al comparar los resultados de los cuatro análisis descritos en la Sección 9.7.4 con los resultados del análisis dinámico del edificio sin modificar la posición de los centros de masa.

9.7.6 CONTROL DE CORTANTE MÍNIMO #

Los cortes basales $V_{ox}$ y $V_{oy}$ serán los correspondientes al análisis con los centros de masa no desplazados en cada una de las direcciones principales X, Y del edificio, deberán compararse con los calculados según la Sección 9.3.1 con un período $T = 1.6\, T_a$, los cuales se denotan aquí por $V^*_{ox}$ y $V^*_{oy}$, respectivamente. Las solicitaciones sísmicas de diseño y los desplazamientos para cada dirección del sismo deberán multiplicarse por los factores ($V^*_{ox}$ / $V_{ox}$) y ($V^*_{oy}$ / $V_{oy}$) respectivamente, los cuales no serán menores que la unidad.

El coeficiente $V_o/W$ de diseño no será menor que el mínimo coeficiente sísmico dado en el Artículo 7.1 para ambas direcciones X e Y del edificio.

9.7.7 EFECTO P-$\Delta$ #

Con las solicitaciones de piso y los desplazamientos obtenidos en la Sección 9.7.6, se debe verificar el cumplimiento de los establecido en el Artículo 8.5.

9.8 MÉTODO DE ANÁLISIS DINÁMICO CON ACELEROGRAMAS #

9.8.1 GENERAL #

El método es de aplicación general. En particular se requiere para estructuras no tipificadas entre lo Tipos Estructurales definidos en el Artículo 6.3. En estas estructuras se recomienda un análisis inelástico que suministre valores realistas de las demandas de ductilidad de la estructura y sus componentes. Puede ser utilizado en sustitución de los métodos de análisis basados en modelos elásticos del edificio, descritos en los Artículos 9.3 a 9.7.

9.8.2 MODELO ESTRUCTURAL #

La estructura será modelada considerando un comportamiento inelástico representativo de sus características mecánicas. El diagrama de restitución adoptado deberá ser respaldado por información experimental.

9.8.3 ANÁLISIS INELÁSTICO #

La estructura será analizada mediante procedimientos de integración directa (paso a paso) para acelerogramas representativos de la acción sísmica esperada en el sitio. Si el análisis incluye la acción simultánea de las dos componentes horizontales del sismo, el par de acelerogramas a usar deberá tener un coeficiente de correlación adecuado.

Para el análisis se utilizarán al menos cuatro acelerogramas o pares de acelerogramas. La respuesta dinámica probable se obtendrá de promediar las respuestas obtenidas para todos los acelerogramas del conjunto.

En el análisis se deberán incluir los efectos P-$\Delta$.

9.8.4 ACELEROGRAMAS #

Los movimientos sísmicos a utilizar en el análisis podrán ser acelerogramas registrados o simulados mediante procedimientos reconocidos.

El espectro elástico promedio de los acelerogramas del conjunto deberá aproximarse conservadoramente al espectro de diseño dado en el Artículo 7.2 para el valor R=1.0, en el rango de los períodos propios de la estructura.

9.9 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS ESTÁTICO INELÁSTICO #

Este procedimiento constituye una opción adecuada para ser utilizada en conjunto con el método de análisis del Artículo 9.3, a fin de obtener información sobre los mecanismos de falla, las demandas locales y globales de ductilidad, y la identificación de zonas críticas. La distribución de cargas estáticas laterales a aplicar se obtendrá empleando el método del Artículo 9.3, actuando en forma monotónica y creciente, hasta alcanzar la falla o estado de agotamiento de la estructura.

La estructura será modelada considerando un comportamiento inelástico representativo de sus características mecánicas.